Ejercicio 2

En una remota y mística isla llamada Arcadia, hay una antigua ruina que alberga un tesoro legendario. Tres intrépidos exploradores, Alicia, Benjamín y Carlos, deciden embarcarse en una búsqueda para encontrar el tesoro escondido. Al llegar a la isla, encuentran un mapa que indica tres puntos clave donde deben buscar pistas para llegar al tesoro.

Para llegar al tesoro, deben calcular la distancia y el ángulo entre los puntos B y C, y también el ángulo entre los puntos A, B y C. Para ello, deciden utilizar la ley del coseno y la ley del seno.

Solución:

Calcular la distancia entre los puntos B y C utilizando la ley del coseno:

La distancia entre dos puntos en un plano cartesiano se puede calcular usando la fórmula de la distancia entre dos puntos: d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Para B(6, 0) y C(3, 4), la distancia entre ellos es:

d_BC = √((6 - 3)^2 + (0 - 4)^2)

d_BC = √(3^2 + (-4)^2)

d_BC = √(9 + 16)

d_BC = √25

d_BC = 5 unidades.

Calcular el ángulo entre los puntos B y C utilizando la ley del coseno:

La ley del coseno se puede utilizar para calcular el ángulo entre tres puntos en un triángulo. En este caso, estamos interesados en el ángulo ∠BAC.

La ley del coseno establece que en un triángulo ABC con lados a, b y c y ángulo ∠C opuesto al lado c:

cos(∠C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2 * a * b).

Dado que tenemos el valor de los lados b (BC = 5) y c (AB = 6) y queremos encontrar el ángulo ∠BAC, la fórmula se convierte en:

cos(∠BAC) = (5^2 + 6^2 - AC^2) / (2 * 5 * 6).

Para simplificar el cálculo, vamos a resolver primero la distancia entre los puntos A y C:

d_AC = √((3 - 0)^2 + (4 - 0)^2)

d_AC = √(3^2 + 4^2)

d_AC = √(9 + 16)

d_AC = √25

d_AC = 5 unidades.

Ahora, podemos calcular el valor de AC:

AC = 5 unidades.

Volviendo al cálculo del ángulo ∠BAC:

cos(∠BAC) = (5^2 + 6^2 - 5^2) / (2 * 5 * 6)

cos(∠BAC) = (25 + 36 - 25) / 60

cos(∠BAC) = 36 / 60

cos(∠BAC) = 0.6.

Ahora, para encontrar el ángulo ∠BAC, podemos usar la función inversa del coseno:

∠BAC = arccos(0.6)

∠BAC ≈ 53.13 grados.

Calcular el ángulo entre los puntos A, B y C utilizando la ley del seno:

La ley del seno establece que en un triángulo ABC con lados a, b y c y ángulos ∠A, ∠B y ∠C, se cumple la siguiente proporción:

sen(∠A) / a = sen(∠B) / b = sen(∠C) / c.

Queremos calcular el ángulo ∠ABC, por lo que utilizamos la siguiente proporción:

sen(∠ABC) / BC = sen(∠BAC) / AC.

Hemos calculado previamente el valor de AC (5 unidades) y ∠BAC (53.13 grados). Por lo tanto:

sen(∠ABC) / 5 = sen(53.13°) / 5

sen(∠ABC) = sen(53.13°).

Usando la función inversa del seno, encontramos:

∠ABC = arcsen(sen(53.13°))

∠ABC ≈ 53.13 grados.