Ejercicio 4

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Ahora, vamos a demostrar esta identidad utilizando una representación geométrica. Consideremos un cuadrado con un lado de longitud (a + b):

La diagonal del cuadrado se puede dividir en tres segmentos: uno de longitud \(a\), otro de longitud \(b\) y otro de longitud \((a + b)\) que corresponde a la suma de los dos términos.

Ahora, vamos a calcular el área del cuadrado de dos maneras diferentes. Primero, podemos calcular el área total directamente:

Área total = Lado x Lado = \((a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2\)

Luego, podemos calcular el área del cuadrado dividiéndolo en diferentes partes:

Área total = Área del cuadrado grande + 2 Áreas de los triángulos + Área del cuadrado pequeño

 

Área total = \(a^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}ab + b^2 = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

 

Comparando las dos expresiones para el área total, obtenemos:

 

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

 

Hemos demostrado la identidad del cuadrado de un binomio utilizando una representación geométrica basada en la propiedad de los cuadrados. Esta es una forma visualmente intuitiva de comprender y demostrar la identidad.