Ejercicio 5

Problema: El Tiro del Dragón Dorado

En el mundo del fútbol mágico, existe una legendaria técnica de tiro llamada el "Tiro del Dragón Dorado". En este mundo, los jugadores tienen la capacidad de lanzar el balón con una fuerza y precisión sobrenatural, pero para realizar este tiro, deben calcular el ángulo de lanzamiento perfecto.

Un equipo de fútbol ha llegado a la final de la Copa de las Criaturas Mágicas y confían en que el Tiro del Dragón Dorado les dará la victoria. Sin embargo, hay un problema: deben superar una barrera de agua gigante que se encuentra en el medio del campo. Para hacerlo, necesitan calcular el ángulo de lanzamiento correcto para que el balón pase por encima de la barrera y entre en la portería del equipo contrario.

La barrera de agua tiene forma de arco y está ubicada a una distancia de 30 metros desde el punto de lanzamiento del jugador. El arco de la barrera se extiende desde el suelo hasta una altura de 10 metros. El jugador que realizará el Tiro del Dragón Dorado tiene la capacidad de lanzar el balón a una velocidad inicial de 40 metros por segundo.

Pregunta: ¿A qué ángulo debe lanzar el balón el jugador para que pase por encima de la barrera y llegue a la portería?

Solución:

Para resolver este problema, podemos utilizar conceptos de trigonometría. Sabemos que la velocidad inicial se puede descomponer en sus componentes horizontal y vertical. La componente horizontal se mantiene constante a lo largo del vuelo del balón, mientras que la componente vertical se ve afectada por la gravedad.

Primero, podemos calcular el tiempo que el balón tardará en llegar a la barrera de agua. Usamos la ecuación de movimiento vertical:

$ℎ={�}_{0�}�-\frac{1}{2}�{�}^2$h=v0y​t−21​gt2

Donde:

• $ℎ$h es la altura de la barrera (10 metros).
• ${�}_{0�}$v0y​ es la componente vertical de la velocidad inicial (desconocida).
• $�$g es la aceleración debido a la gravedad (aproximadamente 9.8 m/s²).
• $�$t es el tiempo que el balón tarda en llegar a la barrera.

Sabemos que v0y​=v0​sin(θ), donde ${�}_0$v0​ es la velocidad inicial total y θ es el ángulo de lanzamiento.

$10=(40\sin (�))�-\frac{1}{2}(9.8){�}^2$10=(40sin(θ))t−21​(9.8)t2

Ahora, podemos calcular el tiempo t en términos de θ:

$10=40\sin (�)�-4.9{�}^2$10=40sin(θ)t−4.9t2

Dividimos por t (suponiendo que t no es igual a cero, ya que el balón debe llegar a la barrera) y obtenemos:

$10=40\sin (�)-4.9�$10=40sin(θ)−4.9t

Luego, podemos despejar t de esta ecuación:

$�=\frac{40\sin (�)}{4.9}$t=40sin(θ)​/4.9

Ahora, sabiendo el tiempo t, podemos usar la ecuación de movimiento horizontal para calcular la distancia que el balón recorre horizontalmente:

$�={�}_{0�}�$d=v0x​t

Donde:

• $�$d es la distancia horizontal que debe recorrer el balón (30 metros).
• ${�}_{0�}$v0x​ es la componente horizontal de la velocidad inicial (40 m/s).
• $�$t es el tiempo calculado previamente.

Sustituimos los valores conocidos:

$30=40\cos (�)\left(\frac{40\sin (�)}{4.9}\right)$30=40cos(θ)(40sin(θ)/4.9​)

Ahora, podemos resolver esta ecuación para θ. Simplificando:

$30=\frac{1600\sin (�)\cos (�)}{4.9}$30=1600sin(θ)cos(θ)​/4.9

$30=\frac{800\sin (2�)}{4.9}$30=800sin(2θ)​/4.9

Multiplicamos ambos lados por 4.9/800​

$1.8375=\sin (2�)$1.8375=sin(2θ)

Ahora, despejamos θ:

$�=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(1.8375)$θ=21​sin−1(1.8375)

Pero sin−1(1.8375) no tiene una solución real en el rango estándar de −π/2​ a π/2​. Esto significa que el ángulo requerido para realizar el Tiro del Dragón Dorado no es posible en este contexto ficticio.