Ejercicio 3

Imagina que estás de vacaciones en una hermosa playa y decides practicar el snorkel para explorar la vida marina. Durante tu aventura submarina, encuentras un arrecife que se extiende en línea recta desde la costa. Al regresar a la playa, te das cuenta de que no puedes determinar la longitud total del arrecife, pero te gustaría saberla para compartir tus descubrimientos con tus amigos.


Además, recuerdas que en un mapa viste la ubicación de dos boyas, "A" y "B", que están flotando en el agua a cierta distancia de la costa. En el mapa, se proporciona la distancia entre las dos boyas y la distancia desde la costa hasta la boya "A". Sin embargo, no se proporciona el ángulo entre la línea formada por las boyas "A" y "B" y la costa.

Planteamiento de los datos:

Distancia entre la costa y la boya "A" (AC) = 50 metros.
Distancia entre las boyas "A" y "B" (AB) = 80 metros.
Ángulo desconocido entre la línea que conecta las boyas "A" y "B" y la costa = θ (ángulo BAC).
Solución:

Para determinar la longitud total del arrecife (BC), podemos usar la ley del coseno para encontrar el valor del ángulo θ y luego utilizar la ley del seno para calcular la longitud del arrecife.

Encontrar el ángulo θ utilizando la ley del coseno:
La ley del coseno establece que, en un triángulo con lados a, b y c y el ángulo opuesto a "c" es "C", se cumple la siguiente fórmula:

c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(C).

En nuestro caso, los lados conocidos son AC = 50 metros, AB = 80 metros y el ángulo desconocido es θ (ángulo BAC). Sustituyendo los valores:

AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos(θ).

80^2 = 50^2 + BC^2 - 2 * 50 * BC * cos(θ).

Resolviendo para BC:

BC^2 - 2 * 50 * BC * cos(θ) = 80^2 - 50^2.

BC^2 - 2 * 50 * BC * cos(θ) = 6400 - 2500.

BC^2 - 100 * BC * cos(θ) = 3900.

Encontrar el valor de cos(θ):
Ahora necesitamos calcular el valor de cos(θ). Para eso, podemos usar el hecho de que el coseno de un ángulo en un triángulo es igual a la longitud del lado adyacente al ángulo dividido por la longitud de la hipotenusa del triángulo.

cos(θ) = AC / AB.

cos(θ) = 50 / 80.

cos(θ) = 0.625.

Resolver para BC utilizando la fórmula obtenida:
BC^2 - 100 * BC * 0.625 = 3900.

BC^2 - 62.5 * BC - 3900 = 0.

Usamos la fórmula cuadrática para resolver la ecuación de segundo grado y obtenemos dos posibles soluciones para BC:

BC ≈ 101.25 o BC ≈ -38.75.

Dado que la longitud no puede ser negativa, descartamos la solución negativa y tomamos la única solución válida:

BC ≈ 101.25 metros.

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